Enunciado

Uma companhia de máquinas fotográficas estima que a função da demanda para a nova câmera digital é p x = 312 e - 0,14 x e a função da oferta é estimada para p s x = 26 e 0,2 x , onde x é a medida em milhares. Calcule o excedente total máximo.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o excedente total máximo, sabendo que a função da demanda é dada por p x = 312 e - 0,14 x e a função da oferta é estimada para p s x = 26 e 0,2 x , onde x é a medida em milhares.

Esse excedente total ocorre quanto a quantidade demandada é igual a quantidade oferecida, então vamos igualar as funções e resolver para encontrar o valor de x . Depois, vamos substituir x na função de demanda p ( x ) ou na função de oferta p s ( x ) para encontrar o preço nesse ponto. E calcular o excedente usando a fórmula:

E = ∫ 0 x p x - p s ( x ) d x

Que representa a área entre as curvas de oferta e demanda no intervalo dado.

Vamos lá!

Passo 2

Lembre-se que a quantidade demandada deve ser correspondente a quantidade produzida, para o mercado estar em equilíbrio. Então, vamos igualar as funções:

312 e - 0,14 x = 26 e 0,2 x

312 26 = e 0,2 x e - 0,14 x

12 = e 0,34 x

Aplicando o l n , temos:

ln ⁡ 12 = 0,34 x

x = ln ⁡ 12 0,34

x = 7,308

Aplicando o fator de milhar, temos que:

x = 7308

Portanto, o número de quantidade para a nova câmera digital é 7308 .

Passo 3

Agora vamos encontrar o excedente do consumidor e do produtor para que o mercado esteja em equilíbrio. Como o número de mercadorias vendidas em equilíbrio é x = 7,308 , o preço ao consumidor correspondente é:

p x = 312 e - 0,14 x

p = 312 e - 0,14 7,308

p = 0

Então o excedente do consumidor é:

∫ 0 7,308 p x - p d x

Substituindo as nossas funções:

∫ 0 7,308 312 e - 0,14 x - 0 d x

= ∫ 0 7,308 312 e - 0,14 x d x

Integrando em relação a x , temos:

= 312 - 0,14 e - 0,14 x 0 7,308

E aplicando os limites de integração:

312 - 1 0,14 0 - 1

= 2228,57

Portanto, o excedente do consumidor é 2228,57 .

Passo 4

Como o número de mercadorias produzidas em equilibrio é x = 7,308 , o preço correspondente ao produtor é:

p s x = 26 e 0,2 x

p s = 26 e 0,2 7,308

p s = 0

Então, o excedente do produtor será:

∫ 0 7,308 p - p x d x

= ∫ 0 7,308 0 - 26 e 0,2 x d x

Integrando, temos:

- 26 0,2 e 0,2 x 0 7,308

Aplicando os limites de integração:

- 26 1 0,2 0 - 1

= 130

Portanto, o excedente do produtor é 130 .

Passo 5

O excedente total máximo será a soma dos dois resultados obtidos, ou seja:

T = 2228,57 + 130

T = 2358,57

Multiplicando pelo fator de milhares, temos que:

T = 2358570

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  T = 2358570  

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