Enunciado

O tempo entre infecção e aparecimento dos sintomas para dor de gargante estreptocócica é uma variável aleatória cuja função de densidade de probabilidade pode ser aproximada por f t = 1 15,676 t 2 e - 0,05 t se 0 ≤ t ≤ 150 e f t = 0 , caso contrário.

  1. Qual é a probabilidade de um paciente infectado apresentar sintomas nas primeiras 48 horas?
  2. Qual é a probabilidade de um paciente infectado não apresentar os sintomas até 36 horas?.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função e condição para o nosso problema:

f t = 1 15,676 t 2 e - 0,05 t

Se:

0 ≤ t ≤ 150

Aplicando a função f à condição de densidade de probabilidade, temos:

∫ - ∞ ∞ f t d t

Como a função só é respeitada em um intervalo, podemos separá-la:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ - ∞ 0 f t d t + ∫ 0 150 f t d t + ∫ 150 ∞ f t d t

Substituindo, temos:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ - ∞ 0 0 d t + ∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t + ∫ 150 ∞ 0 d t

Portanto:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t = 1 15676 15675,9 = 1

A função f fica então verificada como sendo uma função de densidade de probabilidade.

Passo 2

A probabilidade de de o paciente apresentar os sintomas nas primeiras 48 horas é de:

P 0 ≤ T < 48 = ∫ 0 48 f t d t

= ∫ 0 48 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

P 0 ≤ T < 48 = 0,439185

Ou seja, a probabilidade de um paciente infectado apresentar os sintomas nas primeiras 48 horas é de 4 3 , 92 % .

Passo 3

Item b:

Agora vamos avaliar a probabilidade de o paciente infectado não apresentar os sintomas até as 36 primeiras horas de infecção. Vamos encontrar a probabilidade de ele apresentar os sintomas e subtrair de 1 pois é um cálculo mais fácil:

P 0 ≤ T < 36 = ∫ 0 36 f t d t

= ∫ 0 36 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

P 0 ≤ T < 36 = 0 , 274947

Esta é a probabilidade de ele apresentar os sintomas, então a probabilidade de não apresentar é de:

1 - 0,274947 = 0,725053

Ou seja, a probabilidade do paciente infectado não apresentar os sintomas é de 72,5 % .

Resposta

a )   43,92 %

b ) 72,5 %

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Investigar as integrais impróprias.
Investigar as integrais impróprias.
Investigar as integrais impróprias seguintes.
Investigar as integrais impróprias seguintes.
Investigar as integrais impróprias seguintes.