Enunciado

  1. Comparando áreas, mostre que
  2. 1 3 < ln ⁡ 1,5 < 5 12

  3. Use a regra do ponto médio n = 10 para estimar ln ⁡ ( 1,5 ) .

Passo 1

Podemos interpretar o 1,5 como sendo a área sob a curva dada por y = 1 x com o x variando de 1 até 1,5 . Essa área é nada mais nada menos que a área de um retângulo de dimensões 1 2   e 2 3 , assim, sua área será dada por

1 2 ⋅ 2 3 = 1 3

Tomando um outro ponto sob a curva teremos, agora, no total um trapézio cuja área é dada por

1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 2 3 = 5 12

Portanto, comparando áreas verificamos que

1 3 < ln ⁡ 1,5 < 5 12

Passo 2

Utilizando a regra exigida pelo enunciado e tomando f t = 1 t , n = 10 e ∆ x = 0,05 teremos

ln ⁡ 1.5 = ∫ 1 1,5 1 t d t ≈ 0,05 ⋅ [ f 1,025 + f 1,075 + f 1,125 + … + f ( 1,745 ) ]

Esses valores para a nossa função nos referidos pontos podem ser calculados utilizando uma calculadora. Dessa forma, obteremos

ln ⁡ 1,5 ≈ 0,4054

Resposta

a Demonstração

b ln ⁡ 1,5 ≈   0,4054

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