Enunciado

Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas abaixo. Em que elas diferem?

  1. x = t     ;     y = t - 2
  2. x = cos ⁡ t     ;     y = sec 2 ⁡ t
  3. x = e t     ;     y = e - 2 t

Passo 1

Bom, vamos tentar descobrir que curvas são essas pra podes comparar esses negócios.

Na curva da letra a o t já está isolado na equação do x :

t = x

Agora é só substituir isso na equação do y :

y = x - 2 = 1 x 2

Beleza?

E essa é a equação cartesiana que as equações paramétricas da letra a representam.

Passo 2

Ok, agora vamos descobrir o que as outras equações paramétricas representam.

Na letra b temos:

x = cos ⁡ t

y = sec 2 ⁡ t

Se você reparar

sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

Ou seja

y = 1 cos 2 ⁡ t = 1 x 2

Que é a mesma equação cartesiana da letra a , só que agora ela veio de

x = cos ⁡ t

Que é algo que está entre - 1 e 1 . Mas como está ao quadrado, essa função é gerada apenas com 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 3

Agora aqui na letra c , as equações paramétricas parecem bem diferentes das outras, mas se você reparar, elas seguem a mesma lógica. Só que agora estão na base e .

Mas ainda assim,

y = 1 e 2 t = 1 e t 2

E isso é nada mais nada menos que

y = 1 x 2

Que é a mesma equação cartesiana de sempre, só que ela veio de

x = e t

Que é algo que é sempre maior que zero. Mas como está ao quadrado, essa função é gerada apenas com 0 ≤ x ≤ 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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