Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 74
Use um gráfico para estimar a coordenada dos pontos mais altos na curva . Então, use o cálculo para encontrar o valor exato.
Passo 1
Primeiramente vamos gerar esse gráfico em uma ferramenta gráfica para gerar o gráfico da função e estimarmos quais os valores mais altos de .
Depois usaremos as derivadas primeiras e segundas para acharmos os pontos críticos de máximo e sabermos os valores máximos exatos.
Passo 2
Gráfico de
Olhando o gráfico dá pra concluirmos que o maior valor de está entre e . De olho eu diria que está próximo de .
Podemos também perceber que esses pontos estão no primeiro e segundo quadrante, ou no terceiro e quarto de forma negativa.
Passo 3
Para calcularmos os valores exatos agora, vamos usar
Substituindo o
Pois quando temos uma inclinação horizontal, nos indicando um ponto crítico e então usamos a segunda derivada para acharmos os pontos de máximo e encontrarmos o maior valor de .
Para isso vamos calcular
Substituindo na equação
Passo 4
Igualando a zero para achar os pontos críticos
Substituindo e
Vamos substituir
Fazendo a distributiva
Mudando de variável,
Colocando em evidência
Então podemos concluir que é uma raiz, para encontrar as outras raízes vamos fazer
Somando dos dois lados
Invertendo os lados
Dividindo por
Aplicando a raiz quadrada dos dois lados
Então os pontos críticos acontecem quando , e quando .
Para
Mas, sabemos que para esses valores não temos o máximo, basta olhar no gráfico.
Para
Vamos chamar de , então
Para , podemos manipular um pouco
Multiplicando por
Como é uma função impar temos que , logo
Para isso temos
Temos também o seu suplementar
Passo 5
Então vamos ter que analisar esses ângulos:
Para saber quais são pontos de máximo, calculamos a segunda derivada e se ela for negativa o ponto é um ponto de máximo.
Agora pra aplicar os ângulos nessa função não tem jeito, pega uma calculadora e joga os valores. Para isso vamos usar uma aproximação de para jogar na calculadora .
Então os pontos de máximo são e .
Passo 6
Por fim vamos calcular o para esses valores.
Utilizando a calculadora novamente
A aproximação de foi até boa hehe.
Portanto o maior valor de para a função é .
Resposta
O maior valor de para a função é .
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