Enunciado

Use um gráfico para estimar a coordenada y dos pontos mais altos na curva r = sen ⁡ 2 θ . Então, use o cálculo para encontrar o valor exato.

Passo 1

Primeiramente vamos gerar esse gráfico em uma ferramenta gráfica para gerar o gráfico da função e estimarmos quais os valores mais altos de y .

Depois usaremos as derivadas primeiras e segundas para acharmos os pontos críticos de máximo e sabermos os valores máximos exatos.

Passo 2

Gráfico de r = sen ⁡ 2 θ

Olhando o gráfico dá pra concluirmos que o maior valor de y está entre 0,5 e 1 . De olho eu diria que está próximo de 0,7 .

Podemos também perceber que esses pontos estão no primeiro e segundo quadrante, ou no terceiro e quarto de forma negativa.

Passo 3

Para calcularmos os valores exatos agora, vamos usar

d y d θ = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ

Substituindo o r

d y d θ = d r d θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Pois quando d y d θ = 0 temos uma inclinação horizontal, nos indicando um ponto crítico e então usamos a segunda derivada para acharmos os pontos de máximo e encontrarmos o maior valor de y .

Para isso vamos calcular d r d θ

d r d θ = 2 cos ⁡ 2 θ

Substituindo na equação

d y d θ = 2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Passo 4

Igualando a zero para achar os pontos críticos

d y d θ = 0

2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = 0

Substituindo cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ e sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

2 ( cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ ) sen ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ - 2 sen 3 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 0

4 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ - 2 sen 3 ⁡ θ = 0

Vamos substituir cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

4 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) sen ⁡ θ - 2 sen 3 ⁡ θ = 0

Fazendo a distributiva

4 sen ⁡ θ - 4 sen 3 ⁡ θ - 2 sen 3 ⁡ θ = 0

4 sen ⁡ θ - 6 sen 3 ⁡ θ = 0

Mudando de variável, u = sen ⁡ θ

4 u - 6 u 3 = 0

Colocando u em evidência

u 4 - 6 u 2 = 0

Então podemos concluir que u 1 = 0 é uma raiz, para encontrar as outras raízes vamos fazer

4 - 6 u 2 = 0

Somando 6 u 2 dos dois lados

4 = 6 u 2

Invertendo os lados

6 u 2 = 4

Dividindo por 6

u 2 = 4 6

u 2 = 2 3

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados

u = ± 2 3

Então os pontos críticos acontecem quando sen ⁡ θ = 0 , sen ⁡ θ = 2 3 e quando sen ⁡ θ = - 2 3 .

Para sen ⁡ θ = 0

θ = 0

θ = π

Mas, sabemos que para esses valores não temos o y máximo, basta olhar no gráfico.

Para sen ⁡ θ = 2 3

θ = arcsen ⁡ 2 3

θ = π - arcsen ⁡ 2 3

Vamos chamar arcsen ⁡ 2 3 de α , então

θ = α

θ = π - α

Para sen ⁡ θ = - 2 3 , podemos manipular um pouco

sen ⁡ θ = - 2 3

Multiplicando por - 1

- sen ⁡ θ = 2 3

Como sen ⁡ θ é uma função impar temos que - sen ⁡ θ = sen ⁡ - θ , logo

sen ⁡ ( - θ ) = 2 3

Para isso temos

- θ = arcsen ⁡ 2 3

θ = - α

Temos também o seu suplementar

θ = π - ( - α )

θ = π + α

Passo 5

Então vamos ter que analisar esses ângulos:

θ = α

θ = π - α

θ = - α

θ = π + α

Para saber quais são pontos de máximo, calculamos a segunda derivada e se ela for negativa o ponto é um ponto de máximo.

d y d θ = 2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

d 2 y d θ 2 = 2 - 2 sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ + ( 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ )

d 2 y d θ 2 = - 4 sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

d 2 y d θ 2 = - 5 sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + 4 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Agora pra aplicar os ângulos nessa função não tem jeito, pega uma calculadora e joga os valores. Para isso vamos usar uma aproximação de α para jogar na calculadora α = 0 , 95532 .

d 2 y d θ 2 α = - 4 , 61881

d 2 y d θ 2 π - α = 4 , 61881

d 2 y d θ 2 - α = - 4 , 61881

d 2 y d θ 2 π + α = 4 , 61881

Então os pontos de máximo são θ = α e θ = - α .

Passo 6

Por fim vamos calcular o y para esses valores.

y = r sen ⁡ θ

y = sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

Utilizando a calculadora novamente

y α = 0 , 76980

y - α = 0 , 76980

A aproximação de y = 0,7 foi até boa hehe.

Portanto o maior valor de y para a função r = sen ⁡ 2 θ é y = 0 , 76980 .

Resposta

O maior valor de y para a função r = sen ⁡ 2 θ é y = 0 , 76980 .

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