Enunciado

O comprimento de uma barra é 2 m e a densidade linear no extremo direito é 1 kg/m. A densidade linear num ponto varia diretamente com a segunda potência da distância do ponto ao extremo esquerdo. Calcular a massa total e o centro de massa da barra.

Passo 1

Se a densidade linear λ é função da distância x desde o extremo esquerdo da barra, e varia diretamente com a segunda potência dessa distância, podemos escrevê-la em função de x da seguinte maneira:

λ x = k x 2

Cabe a nós determinar o valor de k . Mas isso é fácil, já que sabemos que, no extremo direito, x = 2 , temos:

λ 2 = k 2 2 = 1

4 k = 1

∴ k = 1 4

Passo 2

Já sabemos que d m = λ ∙ d x . Integrando de ambos os lados, teremos:

M = ∫ 0 2 λ ∙ d x

No lugar de λ a gente coloca a função que ele representa: 1 4 x 2 , e integramos. Vamos ter:

M = ∫ 0 2 1 4 x 2 ∙ d x

M = 1 12 ∙ x 3 0 2

M = 1 12 ∙ 8

∴ M = 2 3 = 0,67   k g

Passo 3

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ λ ∙ d x

Pro nosso caso, em que conhecendo a função que descreve λ , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 2 / 3 ∙ ∫ 0 2 x 1 4 x 2 ∙ d x

x - = 3 2 ∙ ( 1 16 x 4 0 2

∴ x - = 3 2 = 1,5   m

Resposta

∴ M = 2 3 = 0,67   k g

∴ x - = 3 2 = 1,5   m

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