Enunciado

Uma barra horizontal mede 8   m de comprimento. No seu ponto médio, a densidade linear é 0,8   k g / m e cresce proporcionalmente com o quadrado da distância até esse ponto. Se em uma das extremidades a densidade é 16,8   k g / m , determinar a massa e o centro de massa da barra.

Passo 1

Sendo uma barra horizontal, e pela densidade crescer proporcionalmente com o quadrado da distância para ambos os lados da barra, a partir do centro,fica intuitivo inferir que o centro de massa coincide com o centro da barra, no ponto x = 4   m .

Passo 2

Podemos escrever a densidade linear em um ponto x qualquer da barra a partir da seguinte expressão, considerando x = 4   m o centro de massa:

λ x = k ( x - 4 ) 2 + 0,8

Nós temos dado que a densidade linear na extremidade da barra vale 16,8. Substituíndo esse valor na expressão, determinamos o valor de k :

16,8 = k ( 8 - 4 ) 2 + 0,8

16,8 = 16 ∙ k

k = 1

Passo 3

Com esse valor de k , podemos determinar a massa, que vai ser a integral dos “infinitésimos de densidade linear”, ao longo de toda a barra, dada pela seguinte expressão:

m = ∫ 0 8 k x - 4 2 + 0,8 d x

Resolvendo essa integral, com k = 1 , vamos ter:

m = ( x - 4 ) 3 3 + 0,8 x | 0 8

∴ m = 49,07   k g

Resposta

∴ m = 49,07   k g

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