Enunciado

Detemrine o volume do maior cone de revolução que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3 .

Passo 1

Vamos olhar a figura que ele deu no enunciado.

O volume desse cone vai ser área da base vezes a altura. Usando as variáveis que ele deu, vamos ter:

V = π x 2 y + 3 3

Mas olhando aquele triângulo retângulo de catetos x e y , e hipotenusa 3 , vamso ter:

x 2 + y 2 = 3 2

Isolando o x 2

x 2 = 9 - y 2

O volume vai ficar:

V = π 9 - y 2 y + 3 3

V = π 9 y + 27 - y 3 - 3 y 2 3

V = π 9 y + 27 - y 3 - 3 y 2

Aqui vai um detalhe bem doido rs

Vamos considerar que o y varia de - 3 até 3 . Poooooooooooo, medida negativa? Não é bem isso, escolhendo isso, estamos dizendo que y na verdade é a distância do centro da esfera até a base do cone, mas distância vista como coodenada. Que assim pegarmos os cones como na figura ou um que tenha a base acima do centro.

- 3 < y < 3

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V ' = π 9 - 3 y 2 - 6 y 3

Fazendo isso igual a 0

π 9 - 3 y 2 - 6 y 3 = 0

Vamos ter:

- 3 y 2 - 6 y + 9 = 0

Dividindo a equação por - 3

y 2 + 2 y - 3 = 0

Aplicando Bhaskaras, vamos ter:

y = - 3

Ou

y = 1

Ambos servem. Bora.

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = π 9 - y 2 y + 3 3

Vamos ter:

y = 3 → V = π 9 - 3 2 3 + 3 3 = π 0 6 3 = 0

y = 1 → V = π 9 - 1 2 1 + 3 3 = π 8 4 3 = 32 π 3

y = - 3 → V = π 9 - - 3 2 - 3 + 3 3 = π 0 0 3 = 0

O maior dos 3 valores é quando y = 1

O maior valor é 32 π 3

Resposta

32 π 3

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