Enunciado

7- Considerando a função f x ,   y = x 2 + y 2 - 2 y   em P 0 = ( 2 ,   2 ) . Determine:

a)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor 1 ,   1 .

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Essa será a nossa taxa de variação.

Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x 2 ,   2 = 2 x = 4

∂ f ∂ y 2 ,   2 = 2 y - 2 = 2  

Isso nos dá:

∇ f 2 ,   2 = ( 4 ,   2 )

Passo 3

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

u = ( 1 2 + 1 2 ) = 2

u u = 1 2 , 1 2

Pra finalizarmos,

∂ f ∂ u 2 ,   2 = 4 ,   2 × 1 2 , 1 2 = 6 2 = 3 2

Tranquilo, né ?!

Resposta

3 2

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Nos exercícios 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.6. f x ,y ,z = 2 x + 3 y - z ,P 1 ,1 ,- 1 na direção do eixo positivo dos y .
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x
6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:c) f ( x ,y ) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,0 .
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