Enunciado

Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u ,   nos seguintes casos:

2- f x ,   y = e x 2 - y 2 ,             P 0 = 1,1 ,               u = ( 1 ,   3 )

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais em 1,1 :

∂ f ∂ x 1,1 = 2 x e x 2 - y 2 = 2

∂ f ∂ y 1,1 = - 2 y e x 2 - y 2 = - 2

Assim,

∇ f P 0 = ( 2 ,   - 2 )

Passo 3

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

u = ( 1 2 + 3 2 ) = 10

u u = 1 10 , 3 10

Pra finalizarmos,

∂ f ∂ u P 0 = 2 ,   - 2 × 1 10 , 3 10 = - 4 10 = - 2 10 5

Resposta

- 2 10 5

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