Enunciado

5- Sejam f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 ,     x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x ,   y = ( 0 ,   0 ) e u = 1 ,   1 .

c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .

Passo 1

c)Galera, aqui nós temos que lembrar que o seguinte Teorema:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Só é válido de f ( x ,   y ) for uma função diferenciável em P 0 = x 0 ,   y 0 .

Então, vamos checar se a nossa função é realmente diferenciável em 0 ,   0 . Pra fazer isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade:

lim x ,  y → ( a ,  b ) ⁡ r x ,   y x ,   y - a ,   b = 0

Assim,

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2 3 2

Cara, se a gente aproximar ( 0 ,   0 ) por pontos sobre a reta y = x :

lim x ,  y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2 3 2 = lim x ,  y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 x 2 + x 2 3 2 = lim x ,  y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 2 x 2 3 2

= lim x ,  y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 8 x 6

= l i m x ,   y → ( 0,0 ) x 3 2 2 x 3

= 1 2 2

Uebaaa, como o nosso limite (graças a God) não convergiu para zero, nós temos que a função não é diferenciável no ponto ( 0 ,   0 ) . Isso explica porque os itens a e b deram resultados diferentes, já que o teorema acima não é válido nesse caso.

Resposta

A função não é diferenciável em 0 ,   0 .

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Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → .c) f x ,y = e x + y em P 0 ,1 .
Nos exercícios de 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados. 2 )f x ,y = x 2 - y 2 , P 1 ,2n ad i r e ç ã od e çã v → = 2 i → + 2 j → .
Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → .b) f x ,y = 2 x + y em P - 1 ,2 .
Nos exercícios de 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados. 4 )f x ,y = 2 x + 3 y , P - 1 ,2n ad i r e ç ã od ar e t ay = 2 x çã .
Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → . f x ,y = 2 x 2 + 2 y 2 em P 1 ,1 .