Enunciado

7- Considerando a função f x ,   y = x 2 + y 2 - 2 y   em P 0 = ( 2 ,   2 ) . Determine:

b)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor tangente g ´ ( t ) à curva g t = ( t ,   t 2 - t ) em ( 3 ,   6 ) .

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Essa será a nossa taxa de variação. Cara, mas nesse caso o nosso vetor u será o vetor tangente g ´ ( t ) , oK?!

Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x 2 ,   2 = 2 x = 4

∂ f ∂ y 2 ,   2 = 2 y - 2 = 2  

Isso nos dá:

∇ f 2 ,   2 = ( 4 ,   2 )

Passo 3

g ´ t = ∂ x ∂ t , ∂ y ∂ t = 1 ,   2 t - 1 = ( 1,5 )

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

g ´ ( t ) = ( 1 2 + 5 2 ) = 26

g ´ ( t ) g ´ ( t ) = 1 26 , 5 26

Pra finalizarmos,

4 ,   2 × 1 26 , 5 26 = 14 26 = 7 26 13

Tranquilo, né ?!

Resposta

7 26 13

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