Enunciado

Considere a equação integral de Volterra

t + ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ = s e n ( 2 t )

(a) Resolva a equação integral usando a transformada de Laplace.

(b) Diferenciando a equação duas vezes, mostre que t satisfaz a equação diferencial

' ' t + t = - 4   s e n   ( 2 t )

Mostre também que as condições iniciais são

0 = 0   e   ' 0 = 2

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar chamando k t = t e f t = sen ⁡ 2 t . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se L k ( t ) e L ( t ) existem e

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Então:

y t = ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ

Tudo bem???

Então, nossa equação se reduz à:

t + y t = f ( t )

y t = f t - t

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

L y ( t ) = L f t - t

L y ( t ) = L f t - L t

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Igualando as duas equações:

L k ( t ) x L ( t ) = L f t - L t

L t x L k t + 1 = L f t

L t = L f t L k t + 1

Se aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L s e n ( 2 t ) L t + 1

t = L - 1 2 s 2 + 4 1 s 2 + 1

t = L - 1 2 s 2 + 4 1 + s 2 s 2

t = L - 1 2 s 2 s 2 + 4 s 2 + 1

t = 2 L - 1 s s 2 + 4 x s s 2 + 1

De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:

G s = s s 2 + 4 → g t = cos ⁡ 2 t

H s = s s 2 + 1 → h t = cos ⁡ t

Aplicando o teorema de Laplace na equação:

L t = 2 L L - 1 G ( s ) x H ( s )

L t = 2 G s H ( s )

Pelo teorema da convolução:

t = ∫ 0 t h t - τ g τ d τ

t = ∫ 0 t cos ⁡ ( t - τ ) cos ⁡ 2 τ d τ

t = 1 3 ( 4 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t )

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:

' t = d d t 1 3 ( 4 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t )

' t = 1 3 8 cos ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ t

E

' ' t = d d t ' t = d d t 1 3 8 cos ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ t

' ' t = 1 3 ( - 16 sen ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ t )

A equação diferencial dada foi:

' ' t + t = - 4   s e n   ( 2 t )

1 3 - 16 sen ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ t + 1 3 4 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t = - 4 sen ⁡ 2 t

- 12 3 sen ⁡ 2 t = - 4 sen ⁡ 2 t

- 4 sen ⁡ 2 t = - 4 sen ⁡ 2 t

Então a função que encontramos atende à equação. No item (b) devemos ainda verificar que as condições de valor inicial são atendidas:

t = 1 3 ( 4 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t )

0 = 1 3 ( 4 sen ⁡ 0 - 2 sen ⁡ 0 )

0 = 0

E

' t = 1 3 8 cos ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ t

' 0 = 1 3 8 cos ⁡ 0 - 2 cos ⁡ 0

' 0 = 1 3 8 - 2

' 0 = 1 3 6

' 0 = 2

Então, as condições de contorno também foram atendidas.

Passo 3

Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:

' ' t + t = - 4   s e n   ( 2 t )

L ' ' t + L t = - 4 L s e n   ( 2 t )

Vamos chamar L t = Y ( s ) . Ficamos então com:

s 2 Y s - s 0 - ' 0 + Y s = - 4 x 2 s 2 + 4

s 2 + 1 Y s - 2 = - 4 x 2 s 2 + 4

s 2 + 1 Y s = - 4 x 2 s 2 + 4 + 2

Y s = - 4 x 2 s 2 + 4 x 1 s 2 + 1 + 2 x 1 s 2 + 1

Chamando

F s = 2 s 2 + 4

G s = 1 s 2 + 1

Pela tabela 6.2.1 do livro:

F s = 2 s 2 + 4 → f t = sen ⁡ 2 t

G s = 1 s 2 + 1 → g t = sen ⁡ t

Ficamos então com:

Y s = - 4 F s G s + 2 G ( s )

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y s = - 4 L - 1 F s G s + 2 L - 1 G s

t = - 4 ∫ 0 t f τ g t - τ d τ + 2 g ( t )

t = - 4 ∫ 0 t sen ⁡ 2 τ sen ⁡ ( t - τ ) d τ + 2 sen ⁡ t

t = 1 3 ( 4 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t )

Que é a mesma solução obtida no item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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