Enunciado

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f ( t ) = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) c o s ( τ ) d τ

Passo 1

Reconheça que f (t) é uma convolução integral das duas funções, s e n ( t ) e c o s ( t ) . A transformada de Laplace de f (t) pode ser encontrada usando o teorema da convolução, que afirma que:

ℒ { ∫ 0 t g ( t - τ ) h ( τ ) d τ } = G ( s ) H ( s )

onde G e H são as transformadas de Laplace de g e h, respectivamente.

Passo 2

Portanto,

ℒ { f ( t ) } = ℒ { ∫ 0 t s e n ( t - τ ) c o s ( τ ) d τ } = ℒ { s e n ( t ) } ℒ { c o s ( t ) } = s ( s 2 + 1 ) 2

Resposta

ℒ { f ( t ) } = s ( s 2 + 1 ) 2

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