2. Considere a função z = (x \* y^2) / (x^2 + y^2) Verifique que x * (∂z/∂x) + y * (∂z/∂y) = z.

Passo 1

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x y 2 x 2 + y 2 = y 2 x 2 + y 2 - x y 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 2 = y 2 x 2 + y 4 - 2 x 2 y 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 y 2 + y 4 x 2 + y 2 2

Agora vamos derivar em y,

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x y 2 x 2 + y 2 = 2 x y x 2 + y 2 - x y 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 2 = 2 x 3 y x 2 + y 2 2

Passo 2

Feita as derivadas parciais, vamos verificar,

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z .

x - x 2 y 2 + y 4 x 2 + y 2 2 + y 2 x 3 y x 2 + y 2 2 =

- x 3 y 2 + x y 4 x 2 + y 2 2 + 2 x 3 y 2 x 2 + y 2 2 =

- x 3 y 2 + x y 4 + 2 x 3 y 2 x 2 + y 2 2 =

x y 4 + x 3 y 2 x 2 + y 2 2 =

x y 4 + x 3 y 2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 =  

x y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 =

x y 2 x 2 + y 2 = z

Resposta

Verificado.

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