Enunciado

Considere a função z = f x , y . Como você definiria o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( x 0 , y 0 ) ? Admitindo que f admita derivadas parciais em x 0 , y 0 , escreva a equação do plano que você acha que seja um “forte” candidato a plano tangente ao gráfico da f no ponto x 0 , y 0 .

Passo 1

O que nós devemos entender por “plano tangente a uma superfície”?

Bem, se olharmos uma curva bem de perto, ela nos parecerá um segmento de reta. Da mesma forma, se olharmos bem de perto uma superfície, ela nos parecerá um pedacinho de plano! É este o conceito!

Passo 2

O plano tangente deverá ter uma equação na forma

a x + b y + c z = d

onde ( a , b , c ) representa um vetor normal ao plano.

Note que, num ponto x 0 , y 0 , o vetor normal pode ser tomado como o gradiente da própria função f . Isto é:

a , b , c = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 , ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , ∂ f ∂ z x 0 , y 0

Mas, como z = f x , y , temos ∂ f ∂ z = 1 .

Logo, substituindo na equação do plano, ficamos com

∂ f ∂ x x 0 , y 0 x + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y + z = d

Mas, como o ponto x 0 , y 0 , com z = z 0 = f x 0 , y 0 , deve pertencer ao plano, devemos ter

∂ f ∂ x x 0 , y 0 x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y 0 + z 0 = d

Dai, descobrimos o coeficiente d ! Ou seja, a equação do plano tangente fica:

z - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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