Seja f(x, y) = x^3 \* y^2 - 6xy + phi(y) . Determine uma função phi de modo que

∂f/∂y = 2x^3y - 6x + y/(y^2 + 1)

Passo 1

Primeiro vamos calcular ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y = ∂ x 3 y 2 - 6 x y + Φ y ∂ y = 2 x 3 y - 6 x + Φ ' y

Passo 2

Agora igualamos esse resultado encontrado com o que foi dado:

2 x 3 y - 6 x + y y 2 + 1 = 2 x 3 y - 6 x + Φ ' y

Φ ' y = y y 2 + 1

Passo 3

Agora que temos Φ ' y precisamos da suas primitiva:

Φ y = ∫ y y 2 + 1 d y

Aplicaremos a substituição: u = y 2 + 1 → d u = 2 y d y

Φ u = 1 2 ∫ 1 u d u = ln ⁡ u 2

Voltando pro original:

Φ y = ln ⁡ y 2 + 1 2

Como y 2 + 1 > 0   p a r a   t o d o   y   ϵ   R :

Φ y = ln ⁡ ( y 2 + 1 ) 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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