Enunciado

Considere a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x .

  1. Calcule essa integral de duas maneiras: primeiro usando integração por partes e depois usando a substituição u = s e n x .
  2. Mostre que os resultados da parte (a) são equivalentes.
  3. Qual das duas maneiras você prefere? Discuta as razões de sua preferência.

Passo 1

  1. O exercício pede para calcularmos a integral fornecida de duas maneiras, a primeira é utilizando integração por partes.
  2. Uma função que pode ser integrada por partes, pode ser lida da seguinte maneira:

    ∫ u d v = u v - ∫ v d u

    O que são esses termos? Precisamos encontra-los para poder calcular.

    Chamaremos:

    u = s e n x

    d u = cos ⁡ x

    d v = cos ⁡ x d x

    v = s e n x

    Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x = s e n x . s e n x - ∫ s e n x cos ⁡ x d x + C

    Obtivemos aqui um termo idêntico ao da integral que desejamos calcular, então vamos isolar esse termo:

    2 ∫ s e n x cos ⁡ x d x = s e n x . s e n x + C

    Dividindo os dois lados da equação por 2, temos:

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x = s e n 2 x 2 + C

    Passo 2

    Agora, calcularemos a mesma integral, só que agora utilizando substituição do tipo u d u , quando u = s e n ( x ) .

    Se:

    u = s e n x

    d u = cos ⁡ x

    A integral do tipo:

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x = ∫ u d u

    Integrando, temos que:

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x =   u 1 + 1 1 + 1 + C  

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x =   u 2 2 + C

    Substituindo u = s e n ( x ) temos:

    ∫ s e n x cos ⁡ x d x =   s e n 2 ( x ) 2 + C

    Passo 3

  3. O item seguinte, pede para igualarmos os resultados obtidos nos dois cálculos:
  4.   s e n 2 ( x ) 2 + C =   s e n 2 ( x ) 2 + C

    Provando que são iguais.

  5. A técnica preferível para calcular esse tipo de equação é por substituição do tipo u d u , pois demanda um esforço menor, tornando o cálculo mais fácil e curto.

Resposta

∫ s e n x cos ⁡ x d x =   s e n 2 ( x ) 2 + C

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