Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 35
Considere uma lâmina que ocupa, no primeiro quadrante, a região limitada pela parábola e pelos eixos coordenados, com função densidade
Determine a massa da lâmina.
Determine o centro de massa.
Determine os momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos e .
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta ao ponto com relação ao que deseja, vamos ataca-la também de forma bem direta. Devemos nos lembrar que para encontrarmos a massa da lâmina basta que integremos a densidade de modo, no fim das contas, para encontrarmos a massa basta que calculemos a seguinte integral
Agora ficou mais fácil do que já tava, né? Para resolver essa integral que ficou basta fazermos
Passo 2
Para encontramos o centro de massa precisamos encontrar as coordenadas dos mesmos. Para isso, vamos precisar calcular as seguintes integrais
Calculando cada uma das integrais teremos
Para a segunda integral vamos ter
Assim, teremos
Portanto, nosso centro de massa será dado por
Passo 3
Por fim, para encontrarmos o momento de inércia total devemos calcular os momentos em e e somar ambos os valores. Para tal, temos que resolver então
Para a primeira integral teremos
De igual maneira para a segunda integral teremos
Para achar o momento de inércia total basta fazer
Agora, para achar os raios de giração devemos fazer o seguinte
De maneira análoga para teremos
Pronto, tá resolvido nosso problema.
Resposta
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