Enunciado

Considere uma lâmina que ocupa, no primeiro quadrante, a região D limitada pela parábola x = 1 - y 2 e pelos eixos coordenados, com função densidade ρ x , y = y .

a Determine a massa da lâmina.

( b ) Determine o centro de massa.

c Determine os momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos x e y .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta ao ponto com relação ao que deseja, vamos ataca-la também de forma bem direta. Devemos nos lembrar que para encontrarmos a massa da lâmina basta que integremos a densidade de modo, no fim das contas, para encontrarmos a massa basta que calculemos a seguinte integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y   d x   d y = ∫ 0 1 x y 0 1 - y 2 d y = ∫ 0 1 1 - y 2 ⋅ y   d y = ∫ 0 1 y - y 3   d y

Agora ficou mais fácil do que já tava, né? Para resolver essa integral que ficou basta fazermos

y 2 2 - y 4 4 0 1 = 1 2 - 1 4 = 1 4

Passo 2

Para encontramos o centro de massa precisamos encontrar as coordenadas x   e   y dos mesmos. Para isso, vamos precisar calcular as seguintes integrais

M y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x y   d x   d y   M x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y 2   d x   d y    

Calculando cada uma das integrais teremos

M y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x y   d x   d y   = ∫ 0 1 x 2 y 2 0 1 - y 2 d y   = ∫ 0 1 1 2 ⋅ y - y 2 d y

M y = 1 2 ⋅ y 2 2 - y 3 3 0 1 = 1 12

Para a segunda integral vamos ter

M x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y 2   d x   d y   = ∫ 0 1 x y 2 0 1 - y 2 d y = ∫ 0 1 y 2 - y 4   d y

Assim, teremos

M x = y 3 3 - y 5 5 0 1 = 1 3 - 1 5 = 2 15

Portanto, nosso centro de massa será x - , y - dado por

x - , y - = 1 3 , 8 15

Passo 3

Por fim, para encontrarmos o momento de inércia total devemos calcular os momentos em x e y e somar ambos os valores. Para tal, temos que resolver então

I y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 y   d x   d y   I x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y 3   d x   d y  

Para a primeira integral teremos

I y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 y   d x   d y   = ∫ 0 1 1 3 ⋅ y ⋅ 1 - y 2 3   d y = - 1 24 ⋅ 1 - y 2 4 ​ 0 1 = 1 24

De igual maneira para a segunda integral teremos

I x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y 3   d x   d y   = ∫ 0 1 y 3 - y 5   d y = 1 12

Para achar o momento de inércia total basta fazer

I t = I x + I y = 1 8

Agora, para achar os raios de giração devemos fazer o seguinte

y - - 2 = 1 / 12 1 / 4 → y - - = 1 3

De maneira análoga para x - - teremos

x - - 2 = 1 / 2 4 1 / 4 → x - - = 1 6

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

a 1 4

b x - , y - = 1 3 , 8 15

c   I x = 1 12 ,   I y = 1 24 , y - - = 1 3 , x - - = 1 6

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