Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ ∫ H z 3 ⋅   x 2 + y 2 + z 2   d V

onde   H é o hemisfério sólido com centro na origem e raio 1 , que está acima do plano x y .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por:   H é o hemisfério sólido com centro na origem e raio 1 , que está acima do plano x y . Pela forma como foi dada nossa função, vamos escrever nossa integral em coordenadas esféricas (lembrando que não podemos esquecer do jacobiano ao mudar de coordenadas)

∫ ∫ ∫ H z 3 ⋅   x 2 + y 2 + z 2   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ cos 2 ⁡ ϕ ⋅ ρ ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ cos 2 ⁡ ϕ ⋅ ρ ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Como não temos nada dependendo de θ , para esse caso, podemos resolver a integral mais externa direto, assim, ficamos com

2 π - 0 ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ cos 3 ⁡ ϕ ⋅ ρ ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ d ρ   d ϕ =

Agora é só seguir resolvendo a integral da mais interna pra mais externa. Dessa forma, temos

∫ 0 1 ρ 6 ⋅ cos 3 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ϕ   d ρ = cos 3 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ ρ 7 7 0 1 = cos 3 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ 1 7

Agora, ficamos com a simples a ser resolvida

2 π ⋅ ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ 1 7   d ϕ = 2 π ⋅ - cos 4 ⁡ ϕ 4 0 π 2 ⋅ 1 7 = 2 π 28 = π 14

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

π 14

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∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π ( ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n ϕ d ρd ϕd θ
∫ 0 3 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 5 ρ 3 s e n 3 ϕd ρ d ϕ d θ
∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n ( ϕ ) ρ 2 s e n ϕd ρd ϕd θ
Calcule as integrais em coordenadas esféricas: ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4∫ 0 sec ⁡ ϕ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n ϕ d ϕ d ϕ d θ
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.O sólido delimitado abaixo pelo hemisféri