Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 28
Calcule o valor da integral múltipla.
onde é o hemisfério sólido com centro na origem e raio , que está acima do plano .
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: é o hemisfério sólido com centro na origem e raio , que está acima do plano . Pela forma como foi dada nossa função, vamos escrever nossa integral em coordenadas esféricas (lembrando que não podemos esquecer do jacobiano ao mudar de coordenadas)
Passo 2
Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos
Como não temos nada dependendo de , para esse caso, podemos resolver a integral mais externa direto, assim, ficamos com
Agora é só seguir resolvendo a integral da mais interna pra mais externa. Dessa forma, temos
Agora, ficamos com a simples a ser resolvida
Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.