Enunciado

Considere o problema

- x y ' ' + k 2 y x = λ x y ,  

y , y ' limitados quando x → 0 ,   y 1 = 0 ,

onde k é um intervalo positivo.

b) Mostre, formalmente, que autovalores λ 1 ,   λ 2 , … do problema dado são os quadrados dos zeros positivos de J k λ e que as autofunções correspondentes são ϕ n x = J k ( λ n x ) . É possível mostrar que existe uma sequência infinita de tais zeros.

Passo 1

b) J k λ x satisfaz a condição de contorno em x = 0 . Impondo a outra condição de contorno, será necessário que J k λ = 0 .

Com isso os autovalores são dados por λ n ,   n = 1 ,   2 ,   … onde λ n são zeros positivos de J k x . As autofunções do problema de valor de contorno são ϕ n x = J k λ n x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1. f x = 1 , 0 ≤ x ≤ 1
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Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado y ' ' + λ y = 0 ,y ' 0 = 0 ,y 1 = 0
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