Enunciado

Consulte o Exercício 39, da série de Exercícios 3.2. Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estudantes custará $ 15 por estudante, se no máximo 150 fizerem a viagem, contudo, o custo por estudante será reduzido em $ 0,05 para cada estudante que exceder 150, até que o custo seja 10 por estudante. Quantos estudantes devem fazer a viagem pare que a escola receba a maior renda bruta?

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Precisamos da função renda R da escola. Vamos passo a passo com as informações que o problema dá, porque dá pra se perder facinho. A quantidade de estudantes será a nossa variável x .

A função renda é:

R = Q u a n t i d a d e ∙ P r e ç o

Para valores de x ∈ 0 ,   150 , teremos uma função linear:

R x = 15 x

Para valores acima de 150 vamos ficar com a seguinte função:

R x = x 15 - 0.05 x - 150

R x = - 0.05 x 2 + 22.5 x

Repare que estamos multiplicando a quantidade de alunos pelo preço de cada aluno a partir de 150 alunos. O preço será 15 - 0.05 x - 150 pois para cada aluno acima de 150 , teremos 0.05 de desconto.

Passo 3

Para o primeiro caso:

R x = 15 x

dá pra ver que o maior valor da renda será o maior valor de x no domínio, ou seja, R 150 = 15 ∙ 150 = 2250

Agora vamos ver para o caso que temos mais que 150   alunos:

R x = - 0.05 x 2 + 22.5 x

Para achar o máximo precisamos derivar a função e encontrar onde ela zera:

d R d x = - 0.1 x + 22.5

- 0.1 x + 22.5 = 0

0.1 x = 22.5

x = 225

Passo 4

Agora vamos fazer R ( 225 ) e ver se temos um valor maior que 2250 que obtemos anteriormente.

R 225 = 225 ∙ 15 - 0.05 225 - 150 = 2531.25

Temos um valor maior do que o anterior, então a quantidade de alunos mais lucrativa para a escola é 225 alunos.

Resposta

225

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