Enunciado

Se f t é contínua para t ≥ 0 , a Transformada de Laplace de f é a função F definida por

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

e o domínio de F é conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções.

a) f t = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a transformada de Laplace da função f t = 1 , sabendo que essa transformada é definida por:

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Sei que é estranho esse primeiro contato com uma transformada de Laplace, mas esqueça esse nome estranho e vamos apenas tentar calcular a integral imprópria!!!

Queremos achar

∫ 0 ∞ 1 ⋅ e - s t d t

Mas nós sabemos que essa é uma integral imprópria do tipo 1 , que é definida na forma:

∫ a ∞ f t   d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ a x f t d t

Então, nós vamos definir os intervalos de integração do nosso problema e calcular a integral imprópria usando o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Para o nosso caso, temos a = 0 e podemos escrever:

l i m x → ∞ ∫ 0 x e - s t d t

Integrando em relação a t , vamos ter:

= l i m x → ∞ - 1 s e - s t 0 x

E aplicando os limites de integração:

l i m x → ∞ 1 s 1 - e - s x

Para que a integral convirja quando x → + ∞ , devemos ter s > 0 , de modo que e - s x → 0 . Assim, a transformada de Laplace da função f t = 1 é

F s = 1 s ,     s > 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F s = 1 s ,     s > 0

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