Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

int_0^(oo) e^(- x) cos sqrt(x) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, sabemos que

|cos sqrt(x)| <= 1

Assim,

|e^(- x) cos sqrt(x)| <= e^(- x)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_0^(oo) e^(- alpha x) d x

sempre convergem se alpha > 0 . Neste caso, temos alpha = 1 , de modo que a integral

int_0^(oo) e^(- x) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

|e^(- x) cos sqrt(x)| <= e^(- x)

E a integral

int_0^(oo) e^(- x) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_0^(oo) |e^(- x) cos sqrt(x)| d x

também será convergente! Mas essa ainda não é a integral do problema. Para isso, temos que recorrer ao exemplo 3 resolvida na seção 4.4 do livro:

Se int_a^(oo) |f (x)| d x converge, então int_a^(oo) f (x) d x também converge.

Assim, como a integral de |e^(- x) cos sqrt(x)| converge, segue que

int_0^(oo) e^(- x) cos sqrt(x) d x

também converge.

Resposta

Converge.

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