É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, sabemos que

cos ⁡ x ≤ 1

Assim,

e - x cos ⁡ x ≤ e - x

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ 0 ∞ e - α x   d x

sempre convergem se α > 0 . Neste caso, temos α = 1 , de modo que a integral

∫ 0 ∞ e - x   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

e - x cos ⁡ x ≤ e - x

E a integral

∫ 0 ∞ e - x   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x

também será convergente! Mas essa ainda não é a integral do problema. Para isso, temos que recorrer ao exemplo 3 resolvida na seção 4.4 do livro:

Se ∫ a ∞ f x   d x converge, então ∫ a ∞ f x   d x também converge.

Assim, como a integral de e - x cos ⁡ x converge, segue que

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x

também converge.

Resposta

Converge.

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