Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.3 - Ex. 6

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desse livro

As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

  1. Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
  2. Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
  1. 3 ,   - 1
  2. - 6,0

Passo 1

  1. Vamos lá a gente vai usar as relações:
  2. x = r c o s   θ

    y = r   s e n   θ

    r 2 = x 2 + y 2

    Então a gente tem:

    r 2 = 3 2 + - 1 2 = 3 + 1 = 4

    r 2 = 4

    r = ± 2

    Aí o ângulo pro raio positivo primeiro:

    3 = 2 cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = 3 2

    - 1 = 2   s e n   θ → s e n   θ =   - 1 2

    Bom , o ângulo então é 11 π 6 , não é?

    O ponto então é:   2 , 11 π 6 .

    Passo 2

    Pro raio negativo, vamos ter:

    3 = - 2 cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = - 3 2

    - 1 =   - 2 s e n   θ → s e n   θ = 1 2

    Aí o ângulo fica sendo o 5 π 6 .

    E o ponto: - 2 , 5 π 6 .

    Passo 3

  3. Vamos seguir o mesmo raciocínio!

r 2 = - 6 2 + 0 2

r 2 = 36

r = ± 6

Beleza, pro raio positivo:

- 6 = 6 cos ⁡ θ   → cos ⁡ θ = - 1

0 =   6   s e n   θ = s e n   θ = 0

Aqui o ângulo então é π , certo?

O ponto então é:

6 ,   π

Passo 2

Agora a gente faz com r negativo:

- 6 = - 6 cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = 1

0 =   - 6   s e n   θ → s e n   θ = 0

Aqui então o ângulo é 0   o u   2 π .

Então...

- 6 ,   2 π

Resposta

  1. 2 , 11 π 6
  2. - 2 , 5 π 6
  3. ( 6 , π )
  4. - 6 , 2 π

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