Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 5
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i)Encontre as coordenadas polares Onde e
(ii) Encontre as coordenadas polares Onde e
Passo 1
Na letra (a) a coordenada cartesiana é
Perceba que colocando os pontos no plano cartesiano e fechando um triângulo como mostra em vermelho, teremos como catetos e o raio como hipotenusa. Nesse caso a hipotenusa, e então esse é nosso raio. Agora é só substituir nas equações seguintes:
Chegamos em um ângulo de no quarto quadrante já que o cosseno deu positivo e o seno negativo. Então nossa primeira resposta com o raio positivo seria
Um outro meio de representar seria deixando o raio negativo e pra isso invertemos o ângulo no quadrante oposto, chegando a (.
Passo 2
Na letra (b) a coordenada nos diz que . Aí usando a mesma lógica a hipotenusa, que podemos chamar de raio vai ser 2. E através das equações:
Sabemos que o ângulo é de e para descobrir os quadrantes é só olhar os sinais. Como cosseno é medido no eixo x e ele está negativo da pra ter uma base que o ponto está no ou quadrante. Agora, se o seno é medido no eixo y e está positivo, chegamos na conclusão que está no . A coordenada fica, que simplificando a fração: .
Um outro meio de escrever é colocando o raio negativo, invertendo então os quadrantes. Faríamos então que o ângulo andasse no sentido horário, ou seja, o mesmo que dizer que o ângulo andou e jogamos o raio para o outro lado, ficando
Resposta
- (.
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