Enunciado

As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

(i)Encontre as coordenadas polares r , θ . Onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

(ii) Encontre as coordenadas polares r , θ . Onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

  1. ( 3 3 , 3 )
  2. ( 1 , - 2)

Passo 1

Na primeira coordenada, onde x = 3 3     e   y = 3 ,   podemos usar a hipotenusa para descobrir o raio, como feito no exercício anterior e então

r = 3 3 2 + 3 2 = 27 + 9 = 6

Agora sabendo o raio podemos usar a relação:

3 3 6 = cos ⁡ θ                                                     3 6 = s e n θ

3 2 = cos ⁡ θ                                                     1 2 = s e n θ

Como tanto seno quanto cosseno é positivo, estão no primeiro quadrante e o ângulo que satisfaz é o de 30º. Escrevendo então em coordenadas polares teremos 6 , π 6 . Outra maneira de escrever é usando raio negativo como pede a questão. Invertendo então o ângulo para o quadrante oposto, teremos o ângulo = π + π 6 = 7 π 6 , e a coordenada fica - 6 , 7 π 6 .

Passo 2

Na letra (b) temos x = 1   e   y = - 2 .   Logo através da hipotenusa teremos

r = 1 2 + - 2 2 = 5

Usando então a relação:

1 5 = cos ⁡ θ                                                     - 2 5 = s e n θ

Multiplicando a fração por 5 5     :

5 5 = cos ⁡ θ                                                     - 2 5 5 = s e n θ

θ ≈ - 63 °

Como o cosseno é positivo e o seno negativo esperamos que o ponto esteja no 4º quadrante e com 63 ° com relação ao eixo dos cossenos. Logo podemos escrever o ponto com o raio positivo ( 5 , 297 ° ) ou negativo invertendo o ângulo para 117 ° (subtraindo 180) com relação a origem ( - 5 , 1 1 7 ° ).

Resposta

  1. 6 , π 6 e   ( - 6 , 7 π 6 ) .
  2. ( 5 , 117 ° ) e   ( - 5 , 117 ° ) .    
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Ache os pontos de intersecção dos gráficos das equações r = t g θ e r = c o t g θ .
r = 4 3 - 2 c o s θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
r = 4 2 + 3 c o s θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
Ache a equação polar da cônica que satisfaz as condições dadas e faça um esboço gráfico. Um foco na origem; vétices em (2, π ) e (4, π ).
Prove que a distância entre os pontos P 1 r 1 ,θ 1eP 2 ( r 2 , θ 2 ) é r 1 2+ r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 2 - θ 1 )