Enunciado

Um copo de papel em forma de cone deve conter 100   c m 3 de água. Encontre a altura e o raio do copo que requer a menor quantidade de papel.

Passo 1

Então pessoal, como estamos falando de um copo de papel em forma de cone, temos que a representação do copo seria:

E assim como já indicado na figura, vamos chamar o raio de r , a altura de h e a altura inclinada de L , tudo bem? Show! O volume do cone é dado pela seguinte equação:

V = 1 3 π r 2 h = 100   c m 3

A área do setor circular do cone é:

A = π r L

Ok, vamos guardar essas informações!

Passo 2

Isolando h da primeira equação, teremos:

h = 300 π r 2

Pelo teorema de Pitágoras podemos fazer:

L 2 = h 2 + r 2

L 2 = 90000 π 2 r 4 + r 2

L = 90000 π 2 r 4 + r 2

Substituindo na equação da área do setor circular do cone:

A = π r 90000 π 2 r 4 + r 2

Note que estamos estabelecendo uma expressão para a área porque é isso que nos importa, não o volume do cone. O problema aqui se baseia em quantidade de papel, isso tem que ficar claro, tudo bem?

A fim de facilitar nossa vida, vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado, se liga:

A 2 = π 2 r 2 90000 π 2 r 4 + r 2

Ademais, vamos fazer:

A 2 = S

Então:

S = π 2 r 2 90000 π 2 r 4 + r 2

Isso aqui é só para facilitar nossa derivação, galera!

Passo 3

Como estamos falando de minimização na quantidade de papel, estamos falando de ponto de mínimo, não é mesmo? Logo, derivando nossa expressão:

d S d r = 4 π 2 r 3 - 180000 r 3

d S d r = 4 π 2 r 6 - 45000 r 3

Igualando a zero:

4 π 2 r 6 - 45000 r 3 = 0

π 2 r 6 - 45000 = 0

r 6 = 45000 π 2

∴ r = 45000 π 2 6   c m

Passo 4

Agora que encontramos r , para encontrarmos h é bem tranquilo, basta substituirmos o valor de r encontrado na expressão de h , saca só:

h = 300 π r 2

h = 300 π . 1 45000 π 2 6 2

Simplificando um pouco:

∴ h = 300 π π 2 45000 3   c m

E essas são as dimensões necessárias para minimizar a quantidade de papel do copo, galera! 😉

Resposta

r = 45000 π 2 6   c m

h = 300 π π 2 45000 3   c m

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