Enunciado

Um cone é feito de uma folha circular com raio R recortando um setor e colando os lados que sobraram (Figura Ex-36). Qual é o máximo volume possível para o cone?

Passo 1

Então pessoal, vamos chamar a altura do cone de h , o raio de r e a altura inclinada de R , assim como o enunciado propõe mesmo, tudo jóia? Show! O volume de um cone desse tipo é:

V = 1 3 π r 2 h

Para facilitar nossa visualização, temos o seguinte:

E do triângulo retângulo formando por h , r e L temos:

h 2 + r 2 = R 2

Isolando r 2 , teremos:

r 2 = R 2 - h 2

Substituindo na expressão do volume:

V = 1 3 π R 2 - h 2 h

V = 1 3 π R 2 h - h 3

Show! Como r e h são nossas variáveis, então tivemos que realizar essas substituição para eliminar uma das variáveis, ok? Então vamos continuar!

Passo 2

Como queremos o volume máximo, então vamos utilizar os conceitos do cálculo e derivar essa nossa função aí, saca só:

d V d h = 1 3 π R 2 - 3 h 2

Igualando a zero:

1 3 π R 2 - 3 h 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

R 2 - 3 h 2 = 0

h 2 = R 2 3

∴ h = R 3

Aqui vale ressaltar que não pegamos a raíz negativa porque não trabalhamos com coordenadas negativas na geometria, pois não faria muito sentido, não é mesmo?

Passo 3

Agora que encontramos h , para encontrarmos o volume máximo é tranquilo, pois basta substituirmos o que encontramos na expressão do volume do passo 1, olha só:

V = 1 3 π R 2 - h 2 h

V = 1 3 π R 2 - R 2 3 R 3

V = 1 3 π 2 R 2 3 R 3

∴ V = 2 π R 3 9 3   u . v

E está aí nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

V = 2 π R 3 9 3   u . v

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