Enunciado

Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter 27   c m ³ de água. Ache a altura e raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos altura e raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.

O dado que a questão nos dá é que o copo tem forma de cone e que é feito de maneira a conter 27   c m ³ de água.

Para ficar mais fácil a nossa visualização, temos a figura:

Onde r é o raio da base do cone (raio do copo), h é a altura e R é a hipotenusa do triângulo imaginário formado pelos catetos r e h .

Então... para calcularmos h e r , temos que descobrir a função responsável e minimizá-la utilizando derivadas.

Assim, lembre-se que para descobrirmos pontos de máximo ou mínimo, basta derivarmos uma função e igualar a zero!!

E aí? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

A quantidade de papel diz respeito à superfície da área S do cone, que no formato de copo tem a fórmula:

S = π r R

A gente precisa isolar uma das variáveis para conseguir minimizar essa fórmula, aí a gente pode usar esse triângulo retângulo formado na figura por meio de Pitágoras!

Fica assim:

R 2 = r 2 + h 2 ∴

R = r 2 + h 2

Substituindo em S :

S = π r r 2 + h 2

Passo 3

Do jeito que a fórmula está torna a nossa resolução chatinha, então vamos usar um passo a mais pra facilitar tudo: usar uma variável A = S 2 pra ficar tranquilo de derivar! Então:

A = π 2 r 2 r 2 + h 2

Além dessas fórmulas todas, o exercício dá uma informação muito importante, o volume, e vamos usar ele pra ajudar nas próximas fórmulas:

V = π r 2 h 3 = 27 ∴

r 2 = 27 * 3 π h ∴

r 2 = 81 π h

Substituindo r ² em A (juro que esse passo tá acabando!):

A = π 2 81 π h 81 π h + h 2 ∴

A = 81 2 h 2 + 81 π h

ACABOU, MEU CONSAGRADO!!

Passo 4

Minimizando A , ou seja, derivando e igualando a zero:

A ' h = 0 = - 2 * 81 2 h 3 + 81 π ∴

81 π = 2 * 81 2 h 3 ∴

h 3 = 2 * 81 2 81 π ∴

h 3 = 162 π ∴

h = 162 π 3 = 3 6 π 3 ∴

h ≅ 3,722

Agora finalmente substituindo h em r :

r 2 = 81 π h ∴

r 2 = 81 π 3 6 π 3 = 27 6 π 2 3 ∴

r = 3 3 6 π 2 6 ∴

r ≅ 2,632

Resposta

h ≅ 3,72 2

r ≅ 2,63 2

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