Enunciado

Se um corpo com W kg de peso for arrastado ao longo de um piso horizontal por uma força com F kg de magnitude e segundo uma direção que faz um ângulo de θ rad. com o plano do piso, então F será dada pela equação:

F = k W k sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

Onde k é uma constante cjamada de coeficiente de atrito e 0 < k < 1 . Se 0 ≤ θ ≤ π 2 , ache cos ⁡ θ quando F for mínima

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Nesse caso já temos a função que queremos minimizar, mas normalmente a parte mais difícil do problema está em encontrar essa função.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Nossa F se comporta como uma função de θ , ou seja: F = F θ . Temos que minimizar essa função. Vamos derivar ela então. Pela regra do quociente:

d F d θ = k W k cos ⁡ θ - sin ⁡ θ k sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

Agora igualando isso a 0 :

k W k cos ⁡ θ - sin ⁡ θ k sin ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Como k e W nunca são 0 :

k cos ⁡ θ - sin ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = sin ⁡ θ k

Prontinho! Essa é a relação de cos ⁡ θ   que queríamos!

Resposta

cos ⁡ θ = sin ⁡ θ k

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