Calcule um valor aproximado e avalie o erro.

ln(0,99)

Passo 1

Vamos fazer f x = ln ⁡ x , com polinômio de Taylor de ordem 1 , de f em volta de x 0 = 1 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = 1 , vamos lá:

f x = ln ⁡ x → f 1 = ln ⁡ 1 = 0

f ' x = f ' ln ⁡ x = 1 x → f ' 1 = 1 1 = 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 = 0 + 1 x - 1 = x - 1

Temos que:

f 0 , 99 ≅ - 0,01005

P 0 , 99 ≅ - 0,01

Avaliando o erro vamos ter:

f 0 , 99 - P 0 , 99 ≤ 10 - 4

Resposta

- 0,01 e f 0,99 - P 0,99 ≤ 10 - 4

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