Enunciado

(a) Expresse a área sob a curva y = x 5   de 0 até   2 como um limite.

(b) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a soma em sua expressão da parte (a).

(c) Calcule o limite da parte (a).

Passo 1

  1. Com a função dada podemos achar o seguinte delta:
  2. ∆ x = 2 - 0 n = 2 n

    Nosso x i é:

    x i = 0 + i ∆ x = 2 i n

    Usando a definição:

    A = l i m n → ∞ R n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 i n 5 2 n =   lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 32 i 5 n 5 2 n   = lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 ∑ i = 1 n i 5

    Passo 2

  3. Temos:
  4. ∑ i = 1 n i 5 C A S = n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12

    Passo 3

  5. Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12 = 64 12 lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 n 2 n 2 =

16 3 l i m n → ∞ 1 + 2 n + 1 n 2 2 + 2 n - 1 n 2 = 16 3 * 1 * 2 = 32 3

Resposta

  1. A = lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 ∑ i = 1 n i 5
  2. ∑ i = 1 n i 5 C A S = n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12
  3. 32 3
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