Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma reta com deslocamento s ( t ) , velocidade v ( t ) e aceleração a ( t ) . Mostre que

a t = v t d v d s

Explique a diferença entre os significados das derivadas d v / d t e d v / d s .

Passo 1

E aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que mostrar que uma partícula se move ao longo de uma reta com deslocamento s ( t ) , velocidade v ( t ) e aceleração a ( t ) segue a seguinte equação.

a t = v t d v d s

Tem ideia do que fazer? 😬

Este é um dos primeiros problemas que o aluno faz quando começa a estudar cinemática com cálculo nos cursos de física!!!

Em um movimento podemos parametrizar a função velocidade tanto como função do tempo como função da posição (que também é função do tempo).

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo ( d v / d t ), enquanto que d v / d s é a derivada de v com relação à parametrização pelo deslocamento.

Para provar a relação pedida, vamos escrever v ( t ) como função de s ( t ) e derivar com relação a t pela regra da cadeia.

Veja só! 😎

Passo 2

A função velocidade pode ser escrita como v t = v s t . Vale também lembrar que a aceleração é a derivada temporal da velocidade.

Assim, pela regra da cadeia:

a t = d v t d t = d d t v s t = d v d s ⋅ d s d t

Mas sabemos que v = d s / d t , então

a t = v t d v d s

Foi muito dificil? Responde Aí! 🤔

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada da função y = 2 sqrt(x - 1) s e c ^(- 1) sqrt(x)
Determine a derivada da função y = ( x + 2 ) ^(x + 2)
Determine d y // d x por derivação implícita x y + 2 x + 3 y = 1
Determine a derivada da função y = z s e c ^(- 1) z - sqrt(z ^2 - 1)
Determine a derivada da funçãoy = 2 e^(- x) + e^(3 x)