Efetua a antidiferenciação.

∫ x 3 2 - x 2 12   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Antes de fazermos alguma substituição, vamos reescrever a integral:

I = ∫ x 3 2 - x 2 12   d x = ∫ x 2   2 - x 2 12   x   d x

Agora fazemos t = 2 - x 2 , de modo que x 2 = 2 - t e

2 x   d x = - d t ⇒ x   d x = - d t 2

Portanto,

I = - 1 2 ∫ 2 - t   t 12   d t = 1 2 ∫ t - 2 t 12   d t

Passo 2

Agora podemos fazer a integração:

I = 1 2 ∫ t 13 - 2 t 12   d t = 1 2 1 14 t 14 - 2 13 t 13 + C

Logo,

I = 1 28 t 14 - 1 13 t 13 + C

Lembrando que t = 2 - x 2 :

I = 1 28 2 - x 2 14 - 1 13 2 - x 2 13 + C

Resposta

1 28 2 - x 2 14 - 1 13 2 - x 2 13 + C

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