Calcule

∫ 9 - x - 1 2 d x

Passo 1

Primeiro precisamos substituir:

u = x - 1 → d u = d x

A função dentro da integral é:

f u = 9 - u 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 3, e o outro cateto vale u , concorda comigo que a hipotenusa vai valer 9 - u 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que   9 - u 2 3 = cos ⁡ θ então u 3 = sin ⁡ θ → d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫   9 - u 2 d u = 9 ∫ cos ⁡ θ × cos ⁡ θ d θ = 9 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Vamos agora lembrar que:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Vamos ficar com:

9 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 9 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Vamos fazer uma substituição tal que:

w = 2 θ → d w = 2 d θ

9 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 9 4 ∫ 1 + cos ⁡ w d w = 9 4 w + sin ⁡ w + k

Voltando pra variável θ :

9 4 w + sin ⁡ w + k = 9 4 2 θ + sin ⁡ 2 θ + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável u , lembrando:

      9 - u 2 3 = cos ⁡ θ   e     u 3 = sin ⁡ θ → arcsin ⁡ u 3 = θ

E que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim:

9 4 2 θ + sin ⁡ 2 θ + k = 9 4 2 θ + 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k = 9 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k =

9 2 arcsin ⁡ u 3 + u 3 ×   9 - u 2 3 + k = 9 2 arcsin ⁡ u 3 + u   9 - u 2 9 + k

E por fim voltar pra variável x :

9 2 arcsin ⁡ x - 1 3 + x - 1   9 - x - 1 2 9 + k =

9 2 arcsin ⁡ x - 1 3 + x - 1   9 - x - 1 2 2 + k

Resposta

∫ 9 - x - 1 2 d x = 9 2 arcsin ⁡ x - 1 3 + x - 1   9 - x - 1 2 2 + k

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