Enunciado

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:

f x = s e n x ; c = π 2 ; n = 8

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Nessa não vamos nem cansar, porque as derivadas do seno ficam repetindo! Vamos até a derivada de grau 8 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = s e n x

f ' x = c o s x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × ( - s e n x )

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × ( - c o s x )

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × s e n x

f 5 ' x 5 ! = 1 120 × c o s x

f 6 x 6 ! = 1 7 20 × ( - s e n x )

f 7 ' x 7 ! = 1 5040 × - c o s x

f 8 ' x 8 ! = 1 40320 × s e n x

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 8 x = s e n ( c ) + cos ⁡ c x - c - s e n ( c ) 2 x - c 2 - cos ⁡ c 6 x - c 3 + s e n ( c ) 24 x - c 4 + cos ⁡ c 120 x - c 5 - s e n ( c ) 720 x - c 6 - cos ⁡ c 5040 x - c 7 + s e n ( c ) 40320 x - c 8

Passo 3

No ponto c = π 2 , onde tem s e n π 2 fica 1 e onde tem cos ⁡ π 2 fica 0 :

P 8 x = 1 - x - π 2 2 2 + x - π 2 4 24 - x - π 2 6 720 + x - π 2 8 40320

Resposta

P 8 x = 1 - x - π 2 2 2 + x - π 2 4 24 - x - π 2 6 720 + x - π 2 8 40320

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