4. y = cos x, y = sen x, x = 0 e x = pi / 4

Passo 1

Temos que encontrar o volume do sólido através da rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x:

y = cos ⁡ x e y = sen ⁡ x

O gráfico dessa equação é o seguinte:

Passo 2

A área de seção transversal é A x = π c o s x 2 - π ( sen ⁡ x ) 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo x, usaremos a seguinte fórmula:

V = π ∫ a b A ( x )   d x  

Portanto, o volume é:

V = π ∫ o π 4 ( cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x )   d x

= π ∫ o π 4 ( cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x )   d x

= π ∫ o π 4 1 + cos ⁡ 2 x 2 - 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x  

Simplificando, temos

= π ∫ o π 4 c o s ⁡ 2 x d x  

= π 2 ( sen ⁡ 2 x ) 0 π 4

= π 2   u . v

Resposta

= π 2   u . v

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