30. ∫ ( 5 cos ⁡ x - 4 sin ⁡ x ) d x

Passo 1

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata. Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = ∫ [ ( 5 cos ⁡ x ) d x ] - [ ∫ ( 4 sin ⁡ x ) d x ]

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ a f ( u )   d x = a ∫ f ( u ) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 5 ∫ ( cos ⁡ x ) ⁡   d x - 4 ∫ sin ⁡ x d x

Passo 3

Agora chegamos a diferença de duas integrais que são imediatas. A integral de “seno” é “-cos”, a integral de “cos” é “seno”.

Resposta

I = 5 s e n x + 4 cos ⁡ x + c

Prontinho, esse é nosso resultado final.

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