Enunciado

Use as equações paramétricas de uma elipse

x = a cos ⁡ θ

y = b sen ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Para calcular a área limitada por essas curvas.

Passo 1

Olá, meu estudioso aluno. Vamos resolver essa atividade de integrais.

A gente tem a curva parametrizada da elipse:

x = a cos ⁡ θ

y = b sen ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

E precisamos encontrar sua área, para isso vamos utilizar a fórmula de área de uma curva.

A área de uma curva é dada por

A = ∫ a b y d x

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular, já que estamos em coordenadas polares, precisamos que nossa integral também esteja, para isso precisamos substituir cada termo.

O nosso novo intervalo de integração vai ser o θ , que e a variável de integração. Já para encontramos d x , precisaremos derivar a equação de x .

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 π

O y é a própria parametrização

y = b sen ⁡ θ

E o d x é só pegar a parametrização do x e derivar em relação a θ :

x = a cos ⁡ θ

d x = - a sen ⁡ θ   d θ

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula.

Mas aí que entra o pulo do gato!!!

A gente precisa se ligar que a elipse é uma curva simétrica, então a gente não precisa calcular a integral de 0 até 2 π , até porque se fizermos isso, vai dar um ruim no final, a área vai ficar negativa...

E mais ainda, no caso dessa elipse, a gente pode dividir a curva em 4 e calcular a área só de π 2 até 0 e depois multiplicar por 4 pra ter a área da elipse inteira.

Observe que quando θ =   0 , então x , y = a , 0 e à medida que θ aumenta, a curva é desenhada no sentido anti-horário.

Na forma ( x , y ) da integral, queremos que x vá de 0 a a para o quarto superior direito da elipse, mas isso corresponderá a θ indo de π 2 a 0 , que são os limites para a integral quando substituímos e convertemos tudo em theta.

Vamos lá então:

A = ∫ π 2 0 b sen ⁡ θ ( - a sen ⁡ θ   d θ )

A = ∫ π 2 0 - a b sen 2 ⁡ θ   d θ

Quando invertemos os limites de integração podemos multiplicar a integral por - 1 :

A = ∫ 0 π 2 a b sen 2 ⁡ θ   d θ

Podemos utilizar a identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

A = a b ∫ 0 π 2 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ

Realizando a integração:

A = a b ∫ 0 π 2 1 2 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A = a b 2 [ θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ ] π 2 0  

Aplicando o nosso limite de integração:

A = a b 2 π 2 - 1 2 sen ⁡ 2 π 2 - 0 + 1 2 sen ⁡ 0  

A = π a b 4

Logo, a área total A t = 4 A = π a b

Resposta

A = π a b  

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