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Encontre a área da região delimitada pela hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e pela reta vertical passando por um foco.

Passo 1

Bom, pessoal. Primeiro temos que identificar como é essa figura cuja área queremos calcular. Já sabemos que parte da fronteira dessa figura é dada pela hipérbole de equação:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

y 2 = b 2 x 2 a 2 - 1

y = ± b a x 2 - a 2

A outra parte da fronteira é uma reta vertical, então sua equação é da forma:

x = c o n s t a n t e

Mas quem é essa constante? Bom, o exercício nos disse que essa reta passa por um foco, então podemos dizer que:

x = ± c

Se escolher o foco da região positiva , ficamos com:

x = c

E fazendo um esboço, a área que queremos calcular fica mais clara:

Passo 2

Show! Agora repare que a hipérbole é simétrica em relação ao eixo x , ou seja, o que acontece em cima, também acontece em baixo. Portanto, pra facilitar a nossa vida, podemos calcular só a área da parte de cima da figura, e depois multiplicar por 2 .

Então, pra achar a área dessa parte, podemos integrar a função y x que corresponde a essa parte da hipérbole, com x indo de a até c .

Mas que função representa a hipérbole? No passo anterior, achamos:

y = ± b a x 2 - a 2

Mas uma função não pode nos dar dois valores de y pra cada x . Então a gente pega só a parte positiva, pois estamos calculando a área da metade de cima da figura, onde y ≥ 0 , beleza?

y ( x ) = b a x 2 - a 2

Nossa integral fica assim então:

∫ a c b a x 2 - a 2   d x

Passo 3

Agora, como que a gente faz pra calcular aquela integral?

Bom, ela é realmente complicada de se fazer no braço. Então vamos usar a Tabela de Integrais do livro, n º   39 , pra descobrir que:

∫ x 2 - a 2   d x = x 2   x 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ x + x 2 - a 2 + C  

Agora a gente consegue calcular!

∫ a c b a x 2 - a 2   d x =

b a   c 2   c 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ c + c 2 - a 2 - a 2   a 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ a + a 2 - a 2 =

b a c 2   c 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ c + c 2 - a 2 + a 2 2 ln ⁡ a

Mas, pra hipérbole, a gente sabe que c 2 - a 2 = b 2 , então:

∫ a c b a x 2 - a 2   d x = b a c 2   b - a 2 2 ln ⁡ b + c + a 2 2 ln ⁡ a = 1 2 b 2 c a + a b ln ⁡ a b + c

Pra descobrir a área total, é só multiplicar o resultado por 2 , né?

A = b 2 c a + a b ln ⁡ a b + c

onde c = a 2 + b 2 .

Resposta

A = b 2 c a + a b ln ⁡ a b + c

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