Enunciado

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(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volume do sólido resultante.

(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o volume resultante.

Passo 1

(a) E aí, galera! Aqui a gente vai girar uma elipse em torno de um dos seus eixos (o maior), e isso vai formar um sólido, né. Podemos supor que o eixo maior é o eixo x . Nesse caso, nossa equação ficaria:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

com a > b . Então, a gente calcula o volume desse sólido.

Passo 2

Se a gente tá girando a elipse em torno do eixo x , vamos lembrar lá do Cálculo como é a fórmula do volume?

V = ∫ π y x 2   d x

Então a gente isola y 2 na equação da elipse pra substituir na integral, beleza?

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2 = a 2 - x 2 a 2

y 2 = b 2 a 2 ( a 2 - x 2 )

Como os vértices da nossa elipse correspondem a x = - a e x = a , a integral fica assim:

V = ∫ - a a π b 2 a 2 ( a 2 - x 2 ) d x

V = π b 2 a 2 a 2 x - x 3 3 ,       a p l i c a d o   e m   a   e - a

V = π b 2 a 2 a 2 a - a 3 3 - a 2 - a - - a 3 3

V = π b 2 a 2 a 3 - a 3 3 + a 3 - a 3 3

V = π b 2 a 2   6 a 3 - 2 a 3 3

V = 4 π a b 2 3

Passo 3

(b) Show! Agora temos que girar a elipse em torno do eixo menor, certo? Vamos considerar que esse é o eixo y ,   então a equação continua a mesma:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

com b < a .

Como agora o giro é em torno do eixo y , a fórmula fica assim:

V = ∫ π x 2   d y

Isolamos x 2 da equação da elipse:

x 2 = a 2 1 - y 2 b 2 = a 2 b 2 ( b 2 - y 2 )

Os extremos da elipse equivalem a y = - b e y = b , então:

V = ∫ - b b π a 2 b 2 b 2 - y 2   d y

V = π a 2 b 2 b 2 y - y 3 3 ,       a p l i c a d o   e m   b   e - b

V = π a 2 b 2 b 2 b - b 3 3 - b 2 - b - - b 3 3

V = π a 2 b 2 b 3 - b 3 3 + b 3 - b 3

V = π a 2 b 2   6 b 3 - 2 b 3 3

V = 4 π a 2 b 3

Beleza?

Resposta

(a) V = 4 π a b 2 3

(b) 4 π a 2 b 3

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