Enunciado

54. a) Explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 fazendo a substituição t = - x 2 e escrevendo:

lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ e t = 0

b) Suponha que g x → - ∞ com x → + ∞ . Dada qualquer função f ( x ) , explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ f g x fazendo a substituição t = g x e escrevendo:

lim x → + ∞ ⁡ f g x = lim t → - ∞ ⁡ f t

(Aqui, a igualdade significa que ou ambos os limites existem e são iguais ou nenhum dos dois limites existe.)

c) Por que o resultado da parte b) permanece válido se todos os lim x → + ∞ ⁡ forem substituídos por um dos seguintes lim x → - ∞ ⁡ ,   lim x → c ⁡ ,   lim x → c + ⁡   o u   lim x → c - ⁡ ?

Passo 1

a) A substituição indicada pelo enunciado é apenas um processo de simplificação para nossos cálculos, galera! Em outras palavras temos que e - x 2 = e t . Utilizando a substituição t = - x ² , temos que o limite escrito em termos de t será o seguinte:

t = - x 2

Como o limite em x está tendendo para + ∞ , temos:

t = - ∞

Sendo assim, nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ² = lim t → - ∞ ⁡ e t

Aplicando o limite:

lim t → - ∞ ⁡ e t = 1 e + ∞ = 0

Que é exatamente o resultado dado pelo enunciado, como queríamos provar!

Passo 2

b) Então pessoal, se f t → + ∞ então f t pode ser arbitrariamente pequeno (quanto quisermos). No entanto, considerando os valores de g x no qual g x < t , podemos ver que f g x também tem o limite tendendo a + ∞ . Se f t tem o limite L quando t → - ∞ , os valores de f t podem ser arbitrariamente próximos de L , tomando t pequeno o suficiente! Sendo assim, se x é pequeno o suficiente, então g x < t e f g x também são próximos de L . É por isso que podemos realizar essa operação!

Passo 3

c) Para o limite quando x → - ∞ o mesmo raciocínio da letra b) é aplicado na substituição, isto é, “x diminui sem limite” em vez de “x aumenta sem limite”. Para os outros limites basta mudarmos a condição para x próximo o suficiente de c que o raciocínio continua o mesmo também!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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