Enunciado

Curva de Maria Agnesi - A curva em formato de sino de Maria Agnesi pode ser feita da seguinte forma: inicie com um círculo de raio 1, centrado no ponto ( 0,1 ) , conforme exibido na figura a seguir. Escolha um ponto A na reta y = 2 e conecte-o à origem com um segmento de reta. Designe por B o ponto onde o segmento cruza o círculo. Seja P o ponto em que a reta vertical por A cruza a reta horizontal que passa por B. A curva de Agnesi é a curva traçada por P conforme A se move ao longo da reta y = 2 . Encontre equações paramétricas e um intervalo paramétrico para a curva de Agnesi expressando as coordenadas de P em termos de t , a medida em radianos do ângulo que o segmento O   A faz com o eixo x positivo. As seguintes igualdades (que você pode assumir) irão ajudar

a. x = A Q

b. y = 2 - A B sem ⁡ t

c. A B ∙ O A = A Q 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos considerar o triângulo Δ O Q A , nós podemos escrever que

tan ⁡ ∠ Q A O = Q O Q A

Vamos considerar que ∠ Q A O = t , porque eles são ângulos internos alternados, logo

tan ⁡ t = 2 x

Isolando o x ,

x = 2 tan ⁡ t = 2 cot ⁡ t

Passo 2

Agora, com essas informações, já podemos escrever que

sen ⁡ ∠ Q A O = Q O O A

E com isso

sen ⁡ t = 2 O A

Portanto, o arco é igual a

O A = 2 sen ⁡ t

É fornecido que

A B ∙ O A = A Q 2

Substituindo O A = 2 sen ⁡ t e A Q = x = 2 cot ⁡ x

A B ∙ 2 sen ⁡ t = 2 cot ⁡ t 2

E então, A B é igual a

A B = 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t

Passo 3

Substituindo o valor de A B em y = 2 - A B sem ⁡ t

y = 2 - 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t ∙ sen ⁡ t

Simplificando os termos, nós temos que

y = 2 - 2 cos 2 ⁡ t = 2 sen 2 ⁡ t

Pela figura, nós podemos ver o seguinte intervalo 0 ≤ t ≤ π .

Resposta

x = 2 cot ⁡ t ,   y = 2 sen 2 ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π

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