Enunciado

Determine o gradiente da função f (x , y , z) = x^2 e^(y z^2) .

Passo 1

Sabemos que o gradiente de uma função qualquer f ( a , b ) é:

vec grad f (a , b , c) = (del f)/(del a) hat i + (del f)/(del b) hat j + (del f)/(del c) hat k

Agora precisamos aplicar isso para a nossa função, borá lá?

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro em x :

(del f)/(del x) = (del)/(del x) (x^2 e^(y z^2)) = 2 x e^(y z^2)

Agora em y :

(del f)/(del y) = (del)/(del y) (x^2 e^(y z^2)) = x^2 e^(y z^2) . z^2 = (x z)^2 e^(y z^2)

E por fim em z :

(del f)/(del z) = (del)/(del z) (x^2 e^(y z^2)) = x^2 e^(y z^2) . 2 y z = 2 x^2 y z e^(y z^2)

Passo 3

Agora é só juntar todos esses resultados e aplicar na expressão do passo 1:

grad f = 2 x e^(y z^2) hat i + (x z)^2 e^(y z^2) hat j + 2 x^2 y z e^(y z^2) hat k

Resposta

vec grad f = 2 x e^(y z^2) hat i + (x z)^2 e^(y z^2) hat j + 2 x^2 y z e^(y z^2) hat k

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