Enunciado

9. Sejam f x , y = y - x 2   e   γ t = ( s e n t ,   s e n 2 t ) .

a) Verifique que a imagem de γ   está contida na curva de nível y - x 2 = 0 .

b) Desenhe a imagem de γ .

c) Verifique que para todo t, γ ' t ⋅ ∇ f γ t = 0 .

Passo 1

a)

Curva de nível

y - x 2 = 0

Então,

y = x 2

É uma parábola e a imagem de γ   também é uma parábola.

Passo 2

b)

É uma parábola que não tem altura em z.

Passo 3

c)

O gradiente é nada mais do que as derivadas parciais.

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

∂ f ∂ x ∂ x ∂ t   = ∂ ∂ t s e n 2 t - s e n t 2 = 2 s e n t c o s t - 2 s e n t c o s t = 0

Agora vamos derivar em y,

∂ f ∂ y ∂ y ∂ t   = ∂ ∂ y y - x 2 = ∂ ∂ t = 0

Portanto, o gradiente de f γ t = 0,0 ,

Verificando,

γ ' t ⋅ ∇ f γ t = 0

γ ' t = c o s t , 2 s e n t c o s t

∇ f γ t = 0

γ ' t ⋅ ∇ f γ t =

c o s t , 2 s e n t c o s t ⋅ 0 = 0

Resposta

  1. Verificado, as duas funções tem mesma imagem.
  2. Verificado.
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A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 3 e x 2 + 3 y 2 - z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,1 ,1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → . Determine a reta tangente a γ em γ
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