Enunciado

Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:

29. r = 2 c o s θ r = 2 s e n θ ; 2 , π 4

Passo 1

Bom, precisaremos fazer a diferença entre os ângulos χ 1 e χ 2 , que são os ângulos entre a reta que vai da origem ao ponto de intersecção, dados pela equação:

t g χ = r d r d θ

Com essa diferença, o ângulo obtido será correspondente à rotação de uma reta tangente até a outra pelo menor ângulo

β = χ 1 - χ 2

Passo 2

Vamos calcular χ 1 que corresponde à equação r = 2 c o s θ , primeiro calcularemos d r d θ :

d r d θ = - 2 s e n θ

E a equação do ângulo será:

t g χ 1 = 2 c o s θ - 2 s e n θ = - c o t g θ

Substituindo θ :

t g χ 1 = - c o t g π 4 = - 1

χ 1 = - π 4

E agora calculando χ 2 , primeiro d r d θ :

d r d θ = 2 c o s θ

A equação do ângulo então vai ser:

t g χ 2 = 2 s e n θ 2 c o s θ = t g θ

Substituindo θ :

t g χ 2 = t g π 4

χ 2 = π 4

β = - π 4 - π 4 = - π 2 = - 90 °

Resposta

β = - 90 °

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