Enunciado

Dada

f (x) = {[[3,x,+,2,s,e,x,<,4],[5,x,+,k,s,e,4,<=,x]])

Ache o valor de k para o qual o underset(x -> 4)(lim) f (x) existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de 4 .

Que se resume a:

underset(x -> 4^+)(lim) f (x)

underset(x -> 4^-)(lim) f (x)

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

underset(x -> 4^+)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 4 .

Aqui vai ser 5 x + k .

Logo, vamos ter

underset(x -> 4^+)(lim) 5 x + k = 5 . (4) + k = 20 + k

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> 4^-)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 4 .

Aqui vai ser 3 x + 2 .

Logo, vamos ter

underset(x -> 4^-)(lim) 3 x + 2 = 3 . (4) + 2 = 12 + 2 = 14

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace 20 + k) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace 14)

20 + k = 14

k = 14 - 20

k = - 6

Resposta

k = - 6

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