Enunciado

Demonstrar que a diferença entre s e n ( a + h ) e s e n a + h c o s ( a ) é menor ou igual a 1 2 h 2 .

Passo 1

Nessa questão, o que a gente pode fazer é escrever a fórmula de Taylor para cada uma dessas parcelas e ver qual é a diferença entre eles. Uma das duas, a ou h , é constante, e a outra é variável, já que não sabemos fazer Taylor pra duas funções. Como ele disse que a diferença é menor ou igual a 1 2 h 2 , provavelmente o h que é a variável! Então vamos escrever o polinômio de Taylor pras duas.

Primeiro para o s e n ( a + h ) : vamos calcular o Taylor de 3 ° grau, já que queremos a diferença no h 2 . Se liga que o a é constante, então estamos derivando só em h . Calculando as derivadas:

f h = s e n a + h

f 1 ' ( h ) = cos ⁡ a + h

f 2 ' h = - s e n ( a + h )

f 3 ' h = - cos ⁡ a + h

Por isso, o polinômio de Taylor vai ser:

P 3 h = s e n a + c + cos ⁡ a + c h - c - s e n a + c 2 h - c 2 - cos ⁡ a + c 6 h - c 3

Em torno de c = 0 :

P 3 h = s e n a + cos ⁡ a h - s e n a 2 h 2 - cos ⁡ a 6 h 3

Agora vamos calcular o Taylor de s e n a + h c o s ( a ) , também pro 3 ° grau. Se liga que o a é constante, então estamos derivando só em h .

g h = s e n a + h c o s ( a )

g 1 ' ( h ) = cos ⁡ a

g 2 ' h = 0

g 3 ' h = 0

Por isso, o polinômio de Taylor vai ser:

Q 3 h = s e n ( a + c cos ⁡ a + cos ⁡ a h - c

O que vem mais pra direita disso vai ser tudo 0 . Em torno de c = 0 :

Q 3 h = s e n a + cos ⁡ a h

Passo 2

Agora vamos calcular a diferença entre os dois, que representa a diferença entre as duas funções do enunciado.

cos ⁡ a - h c o s a - s e n ( a + h ) = Q 3 h - P 3 ( h )

Q 3 h - P 3 h = s e n a + cos ⁡ a h - s e n a + cos ⁡ a h - s e n a 2 h 2 - cos ⁡ a 6 h 3

Q 3 h - P 3 h = s e n a 2 h 2 + cos ⁡ a 6 h 3

Ou seja, a diferença entre eles, no pior dos casos, que é quando s e n a = 1 e cos ⁡ a = 0 , fica:

Q 3 h - P 3 h = h 2 2

Portanto,

Q 3 h - P 3 h ≤ h 2 2

Fechou!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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