Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ m x - cos ⁡ n x x 2

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ m x - cos ⁡ n x x 2 → cos ⁡ m . 0 - cos ⁡ n . 0 0 2 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ m x - cos ⁡ n x x 2 = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ m x . m x 1 - 1 - - sen ⁡ n x . n x 1 - 1 2 x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ - m sen ⁡ m x + n sen ⁡ n x 2 x → - msen ⁡ m 0 + n sen ⁡ n 0 2 . 0 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ - msen ⁡ m x + n sen ⁡ n x 2 x = lim x → 0 ⁡ - m cos ⁡ m x . m x 1 - 1 + n cos ⁡ n x . n x 1 - 1 2 x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ - m 2 cos ⁡ m x + n 2 cos ⁡ n x 2 = - m 2 cos ⁡ m . 0 + n 2 cos ⁡ n . 0 2 = - m 2 + n 2 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ m x - cos ⁡ n x x 2 = - m 2 + n 2 2

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14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 0 ⁡ s e n( 5 t ) 2 t
10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 1 ⁡ 3 t 3 - 3 4 t 3 - x - 3
14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → 0 ⁡ 8 x 2 cos ⁡ x - 1
10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → ∞ ⁡ x - 8 x 2 12 x 2 + 5 x
11 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → ∞ ⁡ 5 x 3 - 2 x 7 x 3 + 3